restart;
Arithmetisation of the Sierpinki Curve
Definition of the operators S0 to S3 as in Section 6.1.3:
S[0] := (x,y) -> (x/2,y/2);
S[1] := (x,y) -> (1-y/2,x/2);
S[2] := (x,y) -> (1+y/2, 1-x/2);
S[3] := (x,y) -> (x/2+1, y/2);
Zio2JEkieEc2IkkieUdGJUYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlNiQsJDkkIyIiIiIiIywkOSVGLUYlRiVGJQ==
Zio2JEkieEc2IkkieUdGJUYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlNiQsJiIiIkYsOSUjISIiIiIjLCQ5JCNGLEYwRiVGJUYl
Zio2JEkieEc2IkkieUdGJUYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlNiQsJiIiIkYsOSUjRiwiIiMsJkYsRiw5JCMhIiJGL0YlRiVGJQ==
Zio2JEkieEc2IkkieUdGJUYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlNiQsJjkkIyIiIiIiI0YuRi4sJDklRi1GJUYlRiU=
Resulting algorithm to compute the Sierpinski mapping:
sierpfun := proc(t::numeric, depth::integer)
# t: parameter of the Sierpinski curve
# depth: number of quaternary digits considered in t
global S;
local q,r;
if depth = 0 then return (0,0) end if;
q := floor(4*t); # extract the first quaternary digit
r := 4*t-q; # and compute remainder
return S[q]( sierpfun(r,depth-1) );
end proc:
sierpfun(1/4,5);
NiQiIiIiIiE=
sierpfun(1/8,5);
NiQjIiIiIiIjRiM=
sierpfun(9/16,5);
NiQiIiIjRiMiIiM=
Fast Table-Based Algorithm for the Sierpinski Mapping
Combines two operatos Zi and Zj for each rotation operation (which then corresponds to a hex digit, i.e. two quarternary digits).
The product operators are stored in two tables for the rotation and translation parts, resp.
Define rotation operators Z0 to Z3 (in 90-degree steps) corresponding to the 4 basic patterns of the curve:
Z[0] := (x,y) -> (x,y);
Z[1] := (x,y) -> (-y,x);
Z[2] := (x,y) -> (-x,-y);
Z[3] := (x,y) -> (y,-x);
Zio2JEkieEc2IkkieUdGJUYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlNiQ5JDklRiVGJUYl
Zio2JEkieEc2IkkieUdGJUYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlNiQsJDklISIiOSRGJUYlRiU=
Zio2JEkieEc2IkkieUdGJUYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlNiQsJDkkISIiLCQ5JUYtRiVGJUYl
Zio2JEkieEc2IkkieUdGJUYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlNiQ5JSwkOSQhIiJGJUYlRiU=
Define a table to execute two rotation operators at once (based on two quaternary digits):
for example, Ztable[8] contains a 3, which means that two successive roations with operators Z2 and Z0
(as 20 is the quaternary representation for 8) lead to one rotation with operator Z3 :
Ztable := table ( [(0)=0, (1)=1, (2)=3, (3)=0,
(4)=1, (5)=2, (6)=0, (7)=1,
(8)=3, (9)=0, (10)=2, (11)=3,
(12)=0, (13)=1, (14)=3, (15=0)] ):
Similar, define a table to execute the translation operators resulting from two quaternary digits:
for example, btable[8] contains (4,4) , which means that the subcurve in subtrangle no. 8 (out of 16)
starts at point (4,4)/4 = (1,1) (note that the scaling factor 1/4 is not stored):
btable := table ( [(0)=(0,0), (1)=(2,0), (2)=(2,2), (3)=(2,0),
(4)=(4,0), (5)=(4,2), (6)=(2,2), (7)=(4,2),
(8)=(4,4), (9)=(4,2), (10)=(6,2), (11)=(4,2),
(12)=(4,0), (13)=(6,0), (14)=(6,2), (15)=(6,0) ] ):
Function sierpfastfun computes the Sierpinski mapping based on the tables Ztable and btable .
Note that the function is non-recursive, such that the quaternary representation is computed first and stored in an array q[n] .
Then, the resulting operations, as specified in the two tables, are applied:
sierfastfun := proc(t::numeric, depth::integer)
# t: parameter of the Sierpinski curve
# depth: number of hex digits to consider in t
global S;
local n,q,r,x;
# compute hex representation in array q[]
r := t;
for n from 1 to depth do
q[n] := floor(16*r); # extract next hex digit
r := 16*r-q[n]; # and compute remainder
end do;
# apply all rotation operators to (0,0)
x := (0,0);
for n from depth by -1 to 1 do
x := ( Z[Ztable[q[n]]](x) + btable[q[n]] )/4;
end do;
return x;
end proc:
sierfastfun(1/3,4);
NiQjIiNeIiNrI0YkIiRHIg==
Accumulation-Based Computation Suggested by Sagan
Implementation of Function sierpUnroll, as defined in Section 6.1.4.
sierpUnroll := proc(t::numeric, depth::integer)
# t: paramter of the Sierpinski curve
# depth: number of hex digits considered in t
global S;
local n,q,r,x,qt;
# compute hex representation in array q[]
r := t;
for n from 1 to depth do
q[n] := floor(16*r); # extract next hex digit
r := 16*r-q[n]; # und den Rest
end do;
# accumulate contributions of each hex digit
x := (0,0); qt[0] := 0;
for n from 1 to depth do
# accumulate all rotation operators in qt[]
qt[n] := (qt[n-1] + Ztable[q[n]]) mod 4;
# add next term in the sum representation (Eq. 6.3):
x := x + Z[qt[n-1]](btable[q[n]])/4^n;
end do;
return x;
end proc:
sierpUnroll(1/3,4);
NiQjIiNeIiNrI0YkIiRHIg==
iter := 5;
plot( [ seq( [sierpUnroll((i+7/16)/4^iter,8)], i=0..4^iter-1) ],
-0.04..2.04, -0.04..1.04,
scaling=CONSTRAINED, axes=BOXED, thickness=3);
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